Zahlensysteme

Die Informatik kommt nicht nur mit dem allseits bekannten dezimalen (z.B. bei IP-Adressen) Zahlensystem aus. Für bestimmte Anwendungen werden auch andere Zahlensystem verwendet, vor allem das oktale (z.B. bei UNIX-Berechtigungen), das hexadezimale (z.B. bei MAC-Adressen) und das binäre (z.B. in der Programmierung) Zahlensystem.

Zahlensysteme im Vergleich

System	Nennwerte	Basis	Kennzeichnung
Binär	0, 1	2	Index 2 oder B
Oktal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	8	Index 8 oder O
Dezimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	10	Index 10 oder D
Hexadezimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F	16	Index 16, H oder vorangehendes 0x

Umrechnungsverfahren

• Binär » Oktal
• Binär » Dezimal
• Binär » Hexadezimal
• Oktal » Binär
• Oktal » Dezimal
• Oktal » Hexadezimal
• Dezimal » Binär
• Dezimal » Oktal
• Dezimal » Hexadezimal
• Hexadezimal » Binär
• Hexadezimal » Oktal
• Hexadezimal » Dezimal

Binär » Oktal

Je 3 Stellen der Binärzahl (beginend beim Komma) zusammenfassen, ggf. Binärzahl mit Nullen auf 3 Stellen auffüllen.

010
011
010
010
,
001
2
3
2
2
,
1

10011010010,001₂ = 2322,1₈

Binär » Dezimal

Potenzwert-Verfahren
Jede Binäreins wird mit ihrer Wertigkeit multipliziert, die so entstehenden Produkte werden addiert.

210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20

2-1
2-2
2-3
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
,
0
0
1

1 * 210 + 1 * 27 + 1 * 26 + 1 * 24 + 1 * 21 + 1 * 2-3 = 1234,12510

Horner-Schema

1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0

2 * 1
+0










= 2
2 * 2

+0









= 4
2 * 4


+1








= 9
2 * 9



+1







= 19
2 * 19




+0






= 38
2 * 38





+1





= 77
2 * 77






+0




= 154
2 * 154







+0



= 308
2 * 308








+1


= 617
2 * 617









+0

= 1234

0,001


1

:2 = 0,5
(0 
 + 0,5)
:2 = 0,25
(0  
 + 0,25)
:2 = 0,125

10011010010,001₂ = 1234,125₁₀

Binär » Hexadezimal

Je 4 Stellen der Binärzahl (beginend beim Komma) zusammenfassen, ggf. Binärzahl mit Nullen auf 4 Stellen auffüllen.

0100
1101
0010
,
0010
4
D
2
,
2

10011010010,001₂ = 0x4D2,2

Oktal » Binär

Jede oktale Stelle entspricht 3 Binärstellen.

2
3
2
2
,
1
010
011
010
010
,
001

2322,1₈ = 10011010010,001₂

Oktal » Dezimal

Herangehensweise ist analog zu Binär » Dezimal.

Potenzwert-Verfahren
Jeder Oktalwert wird mit ihrer Wertigkeit multipliziert, die so entstehenden Produkte werden addiert.

83
82
81
80

8-1
2
3
2
2
,
1

2 * 83 + 3 * 82 + 2 * 81 + 2 * 80 + 1 * 8-1 = 1234,12510

Horner-Schema

2
3
2
2

8 * 2
+3


= 19
8 * 19

+2

= 154
8 * 154


+2
= 1234

0,1


1

:8 = 0,125

2322,1₈ = 1234,125₁₀

Oktal » Hexadezimal

Hierfür gibt es kein praktikabeles Umrechnungsverfahren. Um doch zu einem Ergebnis zu kommen, erst die oktale in eine binäre und diese dann in eine hexadezimale Zahl umrechnen (der Weg über eine dezimale zur hexadezimalen Zahl ist ebenso möglich).

2322,1₈ = 10011010010,001₂ = 0x4D2,2

Dezimal » Binär

Divisionsverfahren
Zuerst die Stellen vor dem Komma nehmen und immer wieder durch die Basis 2 dividieren. Die Reste ergeben von unten gelesen das Ergbnis. Bei den Nachkommastellen wird ähnlich vorgegangen: Immer mit 2 multiplizieren. Die Vorkommastellen des Ergebnis bilden das Ergebnis (von oben aus gelesen). So lange mit 2 multiplizieren bis das Ergebnis eine ganze Zahl ist.

1234 : 2 = 
617
Rest 0
617 : 2 = 
308
Rest 1
308 : 2 = 
154
Rest 0
154 : 2 = 
77
Rest 0
77 : 2 = 
38
Rest 1
38 : 2 = 
19
Rest 0
19 : 2 = 
9
Rest 1
9 : 2 = 
4
Rest 1
4 : 2 = 
2
Rest 0
2 : 2 = 
1
Rest 0
1 : 2 = 
0
Rest 1

0,125 * 2 = 
0,25
0,25 * 2 = 
0,5
0,5 * 2 = 
1,0

1234,125₁₀ = 10011010010,001₂

Dezimal » Oktal

Herangehensweise ist analog zu Dezimal » Binär.

1234 : 8 = 
154
Rest 2
154 : 8 = 
19
Rest 2
19 : 8 = 
2
Rest 3
2 : 8 = 
0
Rest 2

0,125 * 8 = 1

1234,125₁₀ = 2322,1₈

Dezimal » Hexadezimal

Herangehensweise ist analog zu Dezimal » Binär.

1234 : 16 = 
77
Rest 2
77 : 16 = 
4
Rest D (13)
4 : 16 = 
0
Rest 4

0,125 * 16 = 2

1234,125₁₀ = 0x4D2,2

Hexadezimal » Binär

Jede hexadezimale Stelle entspricht 4 Binärstellen.

4
D
2
,
2
0100
1101
0010
,
0010

0x4D2,2 = 10011010010,001₂

Hexadezimal » Oktal

Hierfür gibt es kein praktikabeles Umrechnungsverfahren. Um doch zu einem Ergebnis zu kommen, erst die hexadezimale in eine binäre und diese dann in eine oktale Zahl umrechnen (der Weg über eine dezimale zur oktalen Zahl ist ebenso möglich).

0x4D2,2 = 10011010010,001₂ = 2322,1₈

Hexadezimal » Dezimal

Herangehensweise ist analog zu Binär » Dezimal.

Potenzwert-Verfahren
Jeder Oktalwert wird mit ihrer Wertigkeit multipliziert, die so entstehenden Produkte werden addiert.

162
161
160

16-1
4
D
2
,
2

4 * 162 + 13 * 161 + 2 * 160 + 2 * 16-1 = 1234,12510

Horner-Schema

4
D
2

16 * 4
+13

= 77
16 * 77

+2
= 1234

0,2


2

:16 = 0,125

0x4D2,2 = 1234,125₁₀

Web-Links / Literatur
[1] https://www.jenshohmann.de/zahlenumrechner Zahlen-Umrechner
[2] http://www.elektronik-kompendium.de/sites/dig/0208031.htm
[3] http://www.its05.de/html/zahlensysteme.html
[4] http://www.linuxhilfen.org/c/c_aufsteiger_zahl.html
[5] http://www.dagmar-mueller.de/wdz/Zahlen/Zahlensysteme/zahlensysteme.html